Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C．
（1）求b、c的值；
（2）請(qǐng)你在圖10中畫(huà)出這條拋物線的大致圖象；
（3）若點(diǎn)D在此拋物線的對(duì)稱軸上，且到A、C兩點(diǎn)的距離之和最短，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得b、c的值；
（2）由（1）可得此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3，然后即可求得函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可畫(huà)出圖象；
（3）由點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，則可得點(diǎn)D即為所求，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（-1，0）和B（3，0）代入y=x²+bx+c得：

(-1)2-b+c=0 32+3b+c=0.

解得

b=-2 c=-3

，
所以b=-2，c=-3．（3分）

（2）由（1）可得：此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），C（0，-3），
∴圖象如圖所示；（5分）

（3）點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，-3）代入解析式得

3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為：y=x-3，（7分）
∴當(dāng)x=1時(shí)，y-2，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2）．（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的畫(huà)法以及距離之和最短問(wèn)題．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．注意解決距離之和最短問(wèn)題是找到所要求的點(diǎn)的位置．