Question

甲乙都是兩位數，將甲的十位數與個位數對調得丙（甲≠丙），將乙的十位數與個位數對調得丁，丙丁的乘積等于甲乙的乘積，而甲乙兩數的數字全為偶數，并且數字不能完全相同（如24和42），則甲乙兩數之和最大值是多少？

Answer 1

分析：首先由題意可設甲乙兩數分別為：10a+b（且a≠b）和10x+y，即可得丙丁兩數分別為：10b+a和10y+x，又由丙丁的乘積等于甲乙的乘積，可得方程：（10a+b）（10x+y）=（10b+a）（10y+x），繼而可得ax=by，由a≠b，可得x≠y，又由甲乙兩數的數字全為偶數，并且數字不能完全相同，然后分別從①設a，b，x，y中有一對相等，②a，b，x，y中兩對相等的情況；③假設a、b、m、n這四個數字都不相等，去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵將甲的十位數與個位數對調得丙（甲≠丙），將乙的十位數與個位數對調得丁，
設甲乙兩數分別為：10a+b（且a≠b）和10x+y，
∴丙丁兩數分別為：10b+a和10y+x，
∵丙丁的乘積等于甲乙的乘積，
∴（10a+b）（10x+y）=（10b+a）（10y+x），
即：100ax+10ay+10bx+by=100by+10bx+10ay+ax，
∴99ax=99by，
即ax=by，
∵a≠b，
∴x≠y，
∵甲乙兩數的數字全為偶數，并且數字不能完全相同（如24和42），
∴a≠y，b≠x，
①設a，b，x，y中有一對相等，
∵2，4，6，8中，只有4²=2×8，
∴ax=by=4×4=2×8，
當ax=4×4時，即a=m=4，
則兩個數分別為42，48，
此時這兩數和為90，
當ax=2×8時，
則這兩個數為24和84，
此時這兩數和為108；
②∵甲乙兩數的數字全為偶數，并且數字不能完全相同，
∴a，b，x，y中不存在兩對相等的情況；
③假設a、b、m、n這四個數字都不相等，
則a、b、m、n只能為2，4，6，8（數字沒有順序），
∵無論a、b、m、n取2，4，6，8中的哪個數字（不能重合），則ax≠by，
∵這和與知ax=by相矛盾，
∴假設不成立；
綜上：甲乙兩數之和最大值是108．

點評：此題考查了數的十進制的知識．此題難度較大，注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．