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【題目】如圖(1),已知菱形的邊長為,點軸負半軸上,點在坐標原點的坐標為),拋物線頂點在邊上,并經過邊的中點.

(1)求這條拋物線的函數解析式;

(2)點關于直線的對稱點是,求點到點的最短距離;

(3)如圖(2)將菱形以每秒個單位長度的速度沿軸正方向勻速平移,過點于點,交拋物線于點,連接.設菱形平移的時間為秒(,問是否存在這樣的,使相似?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) (2)(3)存在t=1,使△ADF與△DEF相似

【解析】分析:(1)分別求出AB中點的坐標,拋物線的頂點坐標,再用待定系數法求拋物線的解析式;(2);判斷點C在以M為圓心,長為半徑的圓上;(3)∠DEF=90°,∠DAF<90°,所以分兩種情況討論利用相似三角形的對應比成比例列方程求解.

詳解:(1)由題意得AB的中點坐標為(,0),拋物線的頂點坐標為(0,3),分別代入yax2b,得,解得.

∴這條拋物線的函數解析式為.

(2)∵點C(3)關于直線的對稱點是C過點(03)

C一定在點(03)為圓心,為半徑的圓上,

由勾股定理得AM

當點ACM在一條直線上時,AC最小,最小值為AMMC

AC的最小值為AMMC′=.

∴點C到點A的最短距離為.

(3)如圖2所示,在RtBCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC

∴∠C60°,∠CBE30°。∴ECBCDE.

又∵ADBC,∴∠ADC+∠C=180°得∠ADC180°60°120°,

要使△ADF與△DEF相似,則△ADF中必有一個角為直角,而∠DAF<60°,

∴∠ADF=90°或∠AFD=90°.

(I)若∠ADF=90°,∠EDF=120°-90°=30°,

RtDEF中,DE,得EF=1,DF=2,

又∵E(t,3),F(t,-t23),

EF3-(-t23)=t2,得∴t21,t0,∴t1,

此時,∴.

又∵∠ADF=∠DEF,∴△ADF∽△DEF

(II)若∠DFA=90°,可證得△DEF∽△FBA,則

EFm,則FB=3-m

,即m2-3m+6=0,此方程無實數根,

∴此時t不存在.

綜上所述,存在t=1,使△ADF與△DEF相似.

練習冊系列答案
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A. B. C. D.

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16x=-5

x=-

請回答下列問題:

(1)得到①式的依據是________;

(2)得到②式的依據是________;

(3)得到③式的依據是________;

(4)得到④式的依據是________.

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