Question

對于正整數a和b，方程x^a+b+y=x^ay^b的所有正整數解是

 

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Answer 1

分析：先把原方程變形為y=x^a（y^b-x^b），得到x^a是y的約數，設y=x^au，同樣能得到x^b是u的約數，設u=x^bv，變形得到1=v（xab-b+b2v^b-1-1），因此v是1的約數，必有v=1，所以xab-b+b2=2，從而得到x=2，ab-b+b²=1，即b（a-1+b）=1，可分別求出a=1，b=1，x=2，y=4．

解答：解：方程變形為y=x^a（y^b-x^b），
∵x，y，a，b都是正整數，
∴x^a是y的約數，設y=x^au，
∴x^au=x^a（y^b-x^b），
∴u=x^abu^b-x^b=x^b（x^ab-bu^b-1），
∴x^b是u的約數，設u=x^bv，則有v=xab-b•xb2ub-1，v=xab-b+b2vb-1，
∴1=v（xab-b+b2v^b-1-1）
∴v是1的約數，必有v=1，所以xab-b+b2=2．
而x，y，a，b都是正整數，
∴x=2，ab-b+b²=1，即b（a-1+b）=1，
∴b=1，a-1+b=1，
∴a=1，
∴把a=1，b=1，x=2代入原方程解得y=4．
所以原方程僅當a=b=1時，有一組正整數解x=2，y=4．
故答案為：x=2，y=4．

點評：本題考查了方程的整數解得問題：利用整數的整除性質和整數指數的性質解決問題．