Question

某拋物線是由拋物線y=-2x²向左平移2個單位得到．
（1）求拋物線的解析式，并畫出此拋物線的大致圖象；
（2）設拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B．
①求線段AB的長及直線AB的解析式；
②在此拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出這樣的點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=-2（x+2）²，如圖：

（2）①根據（1）得出的拋物線的解析式可得：A點的坐標為（-2，0）；B點的坐標為（0，-8）．
因此在直角三角形ABO中，根據勾股定理可得：AB=2．
設直線AB的解析式為y=kx-8，已知直線AB過A點，
則有：0=-2k-8，k=-4
因此直線AB的解析式為：y=-4x-8；
②存在四個點，C₁（-2，2），C₂（-2，-2），C₃（-2，-16），C₄（-2，-）．
分析：（1）拋物線y=-2x²向左平移2個單位所得的拋物線的解析式應該是y=-2（x+2）²．
（2）①根據（1）得出的拋物線的解析式，即可得出其頂點A和B點的坐標．然后根據A，B兩點的坐標即可求出直線AB的解析式．
②本題要分三種情況進行討論：
一：當AC=BC時，此時C為AB垂直平分線與拋物線對稱軸的交點．過B作BD⊥拋物線的對稱軸于D，那么在直角三角形BDC中，BD=2（A點橫坐標的絕對值），CD=8-AC，而BC=AC，由此可根據勾股定理求出AC=，因此這個C點的坐標為（-2，）．

二：當AB=AC時，此時C點的縱坐標的絕對值即為AB的長，因此C點的坐標為C₁（-2，2），C₂（-2，-2）．
三：當AB=BC時，B點位于AC的垂直平分線上，因此C點的縱坐標為B點的縱坐標的2倍，即C（-2，-16）．
綜上所述即可求出符合條件的C點的坐標．

點評：本題主要考查了二次函數圖象的平移及等腰三角形的構成情況等知識點，主要考查學生分類討論、數形結合的數學思想方法．