Question

（2012•長沙）如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）求圓心O到BC的距離OD．

Answer 1

分析：（1）先根據圓周角定理得出∠ABC的度數，再直接根據三角形的內角和定理進行解答即可；
（2）連接OB，由等邊三角形的性質可知，∠OBD=30°，根據OB=8利用直角三角形的性質即可得出結論．

解答：（1）證明：在△ABC中，
∵∠BAC=∠APC=60°，
又∵∠APC=∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：連接OB，
∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓，
∴O為△ABC的外心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OD=8×

1

2

=4．

點評：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定，垂徑定理，解直角三角形等知識，將各知識點有機結合，旨在考查同學們的綜合應用能力．