Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）求四邊形MEFN面積的最大值．

Answer 1

解：（1）分別過D，C兩點作DG⊥AB于點G，CH⊥AB于點H，
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH，
∴∠DGH=∠CHG=∠CDG=90°，
∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=×（7-1）=3，
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
由勾股定理得：DG=4，
∴S_梯形ABCD=（AB+CD）•DG
=×（1+7）×4
=16．
答：梯形ABCD的面積是16．

（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四邊形MEFN為矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
設AE=x，則EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴=．
∴ME=x，
S_矩形MEFN=ME•EF=x（7-2x）=-（x-）²+．
當x=時，ME=＜4，
∴四邊形MEFN面積的最大值為．
答：四邊形MEFN面積的最大值是．
分析：（1）分別過D，C兩點作DG⊥AB于點G，CH⊥AB于點H，由AB∥CD，DG∥CH，得到矩形DCCHG，即GH=1，根據勾股定理求出DG的長，即可求出梯形的面積；
（2）與（1）類似求出矩形MEFN，再證明△MEA≌△NFB，得到AE=BF，設AE=x，則EF=7-2x，根據△MEA∽△DGA，求出ME=x，根據矩形的面積公式即可求出S和x的關系式，化成頂點式即可求出答案．
點評：本題主要考查了矩形的性質和判定，等腰梯形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，二次函數的最值等知識點，綜合運用性質和判定進行計算是解此題的關鍵．題型較好，綜合性強，有一定的難度．