Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，點D是BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，并且始終保持AE=AD，連接CE.

（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究線段BD，DF，FC之間的數量關系,并證明；

（3）在（2）的條件下，若BD=6，CF=8，求AD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）BD2+FC2=DF2（3）6

【解析】

（1）根據SAS，只要證明∠1=∠2即可解決問題；

（2）結論：BD2+FC2=DF2．連接FE，想辦法證明∠ECF=90°，EF=DF，利用勾股定理即可解決問題；

（3）過點A作AG⊥BC于G．在Rt△ADG中，想辦法求出AG、DG即可解決問題．

（1）∵AE⊥AD，∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°．

又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，∴∠1=∠2．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE．

（2）結論：BD2+FC2=DF2．理由如下：

連接FE．

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠3=45°．

由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠4=∠B=45°，BD=CE，∴∠ECF=∠3+∠4=90°，∴CE2+CF2=EF2，∴BD2+FC2=EF2．

∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF．在△DAF和△EAF中，∵，∴△DAF≌△EAF，∴DF=EF，∴BD2+FC2=DF2．

（3）過點A作AG⊥BC于G，由（2）知DF2=BD2+FC2=62+82=100，∴DF=10，∴BC=BD+DF+FC=6+10+8=24．

∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=AG=BC=12，∴DG=BG﹣BD=12﹣6=6，∴在Rt△ADG中，AD===6．