Question

已知⊙P的圓心坐標為（1.5，0），半徑為2.5，⊙P與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸的負半軸交于點D．
（1）求D點的坐標；
（2）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）設平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點，問：是否存在以線段EF為直徑的圓O'恰好與⊙P相外切？若存在，求出其半徑r及圓心O'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了圓心P坐標即圓P的半徑，不難得出A、B的坐標，根據相交弦定理的推論，可得出OD²=OA•OB，即可求出OD的長，也就得出了D點的坐標．
（2）已知了A、B、D三點坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）根據圓和拋物線的對稱性可知：圓心O′和圓心P必在拋物線的對稱軸上．本題應該分兩種情況：①圓O′在x軸上方；②圓O′在x軸下方；解法一致：都是根據兩圓外切的特點進行求解，由于兩圓外切，那么圓心O′的縱坐標的絕對值就是兩圓半徑之和，可設出圓O′的半徑，然后用圓O′的半徑，表示出E或F的坐標，然后將E或F的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得圓O′的半徑長，也就可得出圓心O′的坐標．
解答：解：（1）由已知，得OA=1，OB=4，
∴OD²=OA•OB=1×4，OD=2
∴D點的坐標為（0，-2）；

（2）設過A、B、D三點多拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A（-1，0）、B（0，-2）的坐標代入解析式，得：

∴
∴過點A、B、D三點多拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（3）存在．配方y=x²-x-2=（x-）²-
拋物線的對稱軸為x=，圓心O’應在對稱軸上．分兩種情況：
①當以線段EF為直徑的圓O′在x軸上方時，F（+r，+r）在拋物線y=x²-x-2上，
∴+r=（+r）²-（+r）-2，
整理得4r²-8r-45=0，
解得r=或r=-（舍去）
∴半徑r=．圓心O′（，7）；
②當以線段EF為直徑的圓O′在x軸下方時：F（+r，--r）在拋物線y=x²-x-2上，
∴--r=（+r）²-（+r）-2，
整理得4r²+8r-5=0，
解得r=或r=（舍去）
∴半徑r=，圓心O′（）．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、圓與圓的位置關系、拋物線與圓的對稱性等知識，綜合性強，難度較大．