Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（3，0），點B（0，3），連接AB，動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO、OB、BA上運動的速度分別為1，，2（長度單位/秒）；同時直線l從x軸的位置開始以（長度單位/秒）的速度向上平行移動，且分別與OB、AB交于E、F兩點，設動點P與動直線l同時出發，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）過A、B兩點的直線表達式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求得過A、B兩點的直線表達式；
（2）此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；
（3）此題需要分三種情況分析：點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點，可求的一個；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，根據對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．
（4）當t=2時，可求的點P的坐標，即可確定△BEP，根據相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．
解答：解：（1）設過A、B兩點的直線表達式為y=ax+b（a、b為常數，且a≠0）．
∵點A的坐標是（3，0），點B的坐標是（0，3），
∴，
解得，，
∴過A、B兩點的直線表達式為：y=-x+3；

（2）∵點A的坐標是（3，0），
∴OA=3；
又∵點P在AO、OB、BA上運動的速度分別為1，，
∴當t=4時，點P在線段OB上，且OP=（4-3÷1）×=，
∴點P的坐標是（0，）；
當點P與點E重合時，=+=+3，
解得OE=，
∴t==；

（3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=t，∠A=60°，
∴AG==t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=t
由3-t=t得t=；
②當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；
③當點P在線段BA上時，過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE=t，
∴BE=3- t，
∴EF==3-，
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•=，
解得t=；

（4）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1
將△BEP繞點E順時針方向旋轉90°，得到△B'EC（如圖3）
∵OB⊥EF，
∴點B'在直線EF上，
∵C點橫坐標絕對值等于EO長度，C點縱坐標絕對值等于EO-PO長度
∴C點坐標為（-，-1）
過F作FQ∥B'C，交EC于點Q，
則△FEQ∽△B'EC
由 ===，可得Q的坐標為（-， ）；
根據對稱性可得，Q關于直線EF的對稱點Q'（-，）也符合條件．
故答案是：（1）y=-x+3；（2）（0，）；．
點評：本題考查了一次函數綜合題．解題的關鍵要注意數形結合思想的應用，還要注意答案的不唯一性．