Question

如圖，點(diǎn)A（3，1），B（-1，n）是一次函數(shù)y₁=ax+b 和反比例函數(shù)y₂=圖象的交點(diǎn)，
（1）求兩個函數(shù)的解析式
（2）觀察圖象直接寫出y₁≥y₂自變量x的取值范圍．
（3）在平面內(nèi)求一點(diǎn)M，使△AOM是以O(shè)A為直角邊等腰直角三角形．
如果還存在其他點(diǎn)M，直接寫出答案．

Answer 1

（1）解：把A（3，1）代入y₂=得：k=xy=3，
∴y₂=，
把x=-1代入上式得：y=-3，
∴B（-1，-3），
把A、B的坐標(biāo)代入y₁=ax+b得：，
解得：a=1，b=-2，
∴y₁=x-2，
即一次函數(shù)的解析式是y₁=x-2，反比例函數(shù)的解析式是y₂=．

（2）解：根據(jù)圖象可知：y₁≥y₂自變量x的取值范圍-1≤x＜0或x≥3．

（3）解：符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，-3），（4，-2），（-1，3），（2，4），
選（1，-3），
證明：如圖作AN⊥y軸，MD⊥y軸，垂足分別為N，D．
∵△AOM是等腰三角形且OA是直角邊，
∴OA=OM，∠AOM=90°，
∵∠NOA+∠AOM+∠MOD=180°，
∴∠NOA+∠MOD=90°，
∵M(jìn)D⊥y軸，
∴∠ODM=90°，
∴∠MOD+∠OMD=180°-90°=90°，
∵∠NOA+∠MOD=90°，
∠MOD+∠OMD=90°，
∴∠NOA=∠OMD，
∵AN⊥y軸，MD⊥y軸，
∴∠ANO=∠MDO=90°，
在△AON和△NMD中，
，
∴△AON≌△NMD （AAS），
∴AN=OD，ON=DM，
∵A（1，3），
∴AN=3，ON=1，
∴OD=3，DM=1，
∴M（1，-3）．
分析：（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出k，把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，能求出B的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式得出關(guān)于a、b的方程組，求出方程組的解即可；
（2）根據(jù)圖象和一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案
（3）選M（1，-3），作AN⊥y軸，MD⊥y軸，垂足分別為N，D．證出∠NAO=MOD，根據(jù)AAS證△NAO≌△DOM證出AN=OD，MD=ON，根據(jù)A的坐標(biāo)求出即可．
點(diǎn)評：本題考查了一用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題等知識點(diǎn)的運(yùn)用，此題綜合性比較強(qiáng)，主要培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的觀察圖形的能力，用了數(shù)形結(jié)合思想．