Question

如圖，大海中有A和B兩個島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線PQ上點E處測得∠AEP=70°，∠BEQ=30°；在點F處測得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=km．
（1）判斷線段AB與AE的數量關系，并說明理由；
（2）求兩個島嶼A和B之間的距離．（sin70°≈，cos70°≈）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據SAS即可證明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數表示出HE與HF，從而可得到關于x的方程，解方程即可得解．
解答：解：（1）相等．
∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，
∴∠EBF=∠BEQ=30°，
∴EF=BF，
又∵∠AFP=60°，
∴∠BFA=60°．
在△AEF與△ABF中，
∵，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB=AE；

（2）過點A作AH⊥PQ，垂足為H．
設AE=xkm，
則AH=xsin70°km，HE=xcos70°km，
∴HF=HE+EF=xcos70°+4-5（km），
Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，
∴xsin70°=（xcos70°+4-5）•tan60°，
即：x=（x+4-5）×，
解得：x≈13，
即AB=AE=13km．
答：兩個島嶼A與B之間的距離約為13km．
點評：此題考查了方向角問題．注意能運用了三角函數，把求線段的問題轉化為方程求解的問題是解此題的關鍵，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．