Question

如圖，拋物線y＝x²＋bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A(－1，0)．

求：(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

(3)點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM＋DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵點A(－1，0)在拋物線y＝x2＋bx－2上， 　　∴×(－1)2＋b×(－1)－2＝0，解得b＝　　(1分) 　　∴拋物線的解析式為y＝x2－x－2．y＝x2－x－2＝(x2－3x－4)＝(x－)2－， 　　∴頂點D的坐標為(，－)　　(4分) 　　(2)當x＝0時y＝－2，∴C(0，－2)，OC＝2． 　　當y＝0時，x2－x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0) 　　∴OA＝1，OB＝4，AB＝5． 　　∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20， 　　∴AC2＋BC2＝AB2． 　　∴△ABC是直角三角形　　(8分) 　　(3)作出點C關于x軸的對稱點，則(0，2)，O＝2，連接D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC＋MD的值最小． 　　設直線D的解析式為y＝kx＋n， 　　則，解得n＝2，． 　　∴． 　　∴當y＝0時，， 　　．∴　　(11分)