Question

（2006•資陽）（1）填空：如圖1，在正方形PQRS中，已知點M、N分別在邊QR、RS上，且QM=RN，連接PN、SM相交于點O，則∠POM=______度；
（2）如圖2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60度．以此為部分條件，構造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質容易得到全等條件證明△PSN≌△SRM，然后利用全等三角形的性質就可以得到∠POM=90°．
（2）根據已知條件構造命題要抓住它們的相同的地方，有三條鄰邊相等，并且已知一個角．命題的證明主要利用題目的已知條件證明△DCE≌△ADF，然后利用全等三角形的性質證明結論．
解答：解：（1）90，（2分）
∵QM=RN，
∴RM=SN，
∵∠PSN=∠SRM=90°，SP=SR，
∴△PSN≌△SRM，
∴∠SPN=∠RSM，
∵∠RSM+∠MSP=90°，
∴∠POM=90°

（2）構造的命題為：
已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=CD，∠ABC=60°，若點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連接AF、DE相交于G，則∠AGE=120°．（4分）

證明：由已知，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=DA，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠C=120°，
∵BC=CD，BE=CF，
∴CE=DF；（5分）
在△DCE和△ADF中，
∴△DCE≌△ADF（SAS），
∴∠CDE=∠DAF，（7分）
又∠DAF+∠AFD=180°-∠ADC=60°，
∴∠CDE+∠AFD=60°，
∴∠AGE=∠DGF=180°-（∠CDE+∠AFD）=180°-60°=120°．（8分）
點評：此題是開放性試題，考查學生對正方形，梯形的性質及全等三角形的判定的綜合運用．