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(2006•資陽)在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b,P是邊CD上異于點C、D的任意一點.
(1)若a=2b,當點P在什么位置時,△APB與△BCP相似?(不必證明)
(2)若a≠2b,①判斷以AB為直徑的圓與直線CD的位置關系,并說明理由;②是否存在點P,使以A、B、P為頂點的三角形與以A、D、P為頂點的三角形相似?(不必證明)
【答案】分析:(1)根據已知及相似三角形的判定方法可求得,P只能是CD的中點.
(2)a≠2b,則有a>2b,a<2b,分情況討論.根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系可以判斷以AB為直徑的圓與直線CD的位置關系.要使△ABP與△ADP相似,因為在△ADP中,∠D=90°,則△ABP必定是直角三角形,根據直徑所對的圓周角是直角,得出答案.
解答:解:(1)因為P在邊CD上,則在△BCP中,必有∠C=90°,因為兩三角形相似時,形狀一定相同,故△APB必定是直角三角形,又P點異于C,D,所以∠ABP≠90°,∠BAP≠90°,只能∠APB=90°,此時P只能是CD的中點.(2分)

(2)當a>2b時:
①以AB為直徑的圓與直線CD相交(3分)
理由是:∵a>2b
∴b<a
∴AB的中點(圓心)到CD的距離b小于半徑a
∴CD與圓相交.(4分)

②當點P為CD與圓的交點時,△ABP∽△PAD,即存在點P(兩個),使以A、B、P為頂點的三角形與以A、D、P為頂點的三角形相似.(5分)
當a<2b時:
1AB為直徑的圓與直線CD相離.(6分)
理由是:∵a<2b
∴b>a
∴AB的中點(圓心)到CD的距離b大于半徑a
∴CD與圓相離(7分)
②由①可知,點P始終在圓外,△ABP始終為銳角三角形
∴不存在點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與以A、D、P為頂點的三角形相似.(9分)
點評:本題屬于開放型試題,重點考查相似三角形的判定,有助于訓練學生的發散思維能力.
練習冊系列答案
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(1)求l2的解析式;
(2)求證:點D一定在l2上;
(3)?ABCD能否為矩形?如果能為矩形,求這些矩形公共部分的面積(若只有一個矩形符合條件,則求此矩形的面積);如果不能為矩形,請說明理由.
注:計算結果不取近似值.

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(1)求l2的解析式;
(2)求證:點D一定在l2上;
(3)?ABCD能否為矩形?如果能為矩形,求這些矩形公共部分的面積(若只有一個矩形符合條件,則求此矩形的面積);如果不能為矩形,請說明理由.
注:計算結果不取近似值.

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(2)求證:點D一定在l2上;
(3)?ABCD能否為矩形?如果能為矩形,求這些矩形公共部分的面積(若只有一個矩形符合條件,則求此矩形的面積);如果不能為矩形,請說明理由.
注:計算結果不取近似值.

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