Question

（2012•宜賓）給出定義：設一條直線與一條拋物線只有一個公共點，且這條直線與這條拋物線的對稱軸不平行，就稱直線與拋物線相切，這條直線是拋物線的切線．有下列命題：
①直線y=0是拋物線y=

1

4

x²的切線；
②直線x=-2與拋物線y=

1

4

x² 相切于點（-2，1）；
③若直線y=x+b與拋物線y=

1

4

x²相切，則相切于點（2，1）；
④若直線y=kx-2與拋物線y=

1

4

x²相切，則實數k=

2

．
其中正確命題的是（　　）

A．①②④

B．①③

C．②③

D．①③④

Answer 1

分析：根據二次函數的性質與根的判別式對各小題進行逐一分析即可．

解答：解：①∵直線y=0是x軸，拋物線y=

1

4

x²的頂點在x軸上，∴直線y=0是拋物線y=

1

4

x²的切線，故本小題正確；
②∵拋物線y=

1

4

x²的頂點在x軸上，開口向上，直線x=-2與y軸平行，∴直線x=-2與拋物線y=

1

4

x² 相交，故本小題錯誤；
③∵直線y=x+b與拋物線y=

1

4

x²相切，∴

1

4

x²-x-b=0，∴△=（-1）²-4×

1

4

b=1+b=0，解得b=-1．把b=-1代入

1

4

x²-x-b=0得x=2，把x=2代入拋物線解析式可知y=1，∴直線y=x+b與拋物線y=

1

4

x²相切，則相切于點（2，1），故本小題正確；
④∵直線y=kx-2與拋物線y=

1

4

x² 相切，∴

1

4

x²=kx-2，即

1

4

x²-kx+2=0，△=k²-2=0，解得k=±

2

，故本小題錯誤．
故選B．

點評：本題考查的是二次函數的性質及根的判別式，熟知二次函數的性質是解答此題的關鍵．