Question

如圖，已知等邊△ABC，以BC為直徑作半⊙O交AB于D，DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是半⊙O的切線；
（2）若DE=，求△ABC與半⊙O重合部分的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OD，CD，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，
∵BC為圓O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∴D為AB的中點，
又O為BC的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
則DE與圓O相切；

（2）解：連接BF，OF，由（1）同理得到OF∥AB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠FOC=∠DOB=60°，
∴∠DOF=60°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵D為AB的中點，
∴E為AF中點，即DE為△ABF的中位線，
∴BF=2DE=2，
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
設CF=x，則BC=2x，
根據勾股定理得：（2）²+x²=（2x）²，
解得：x=2，
∴等邊△BOD和△COF邊長都為2，半圓半徑為2，
則△ABC與半圓O重合部分的面積S=2S_△BOD+S_扇形DOF=2××4+=2+．
分析：（1）連接OD，CD，由三角形ABC為等邊三角形，得到AC=BC，再由直徑所對的圓周角為直角得到CD垂直于AB，利用三線合一得到D為AB的中點，由O為BC中點，得到OD為三角形ABC的中位線，利用中位線定理得到OD與AC平行，由DE垂直于AC，得到DE垂直于OD，可得出DE與圓O相切；
（2）連接BF，OF，由（1）同理得到OF為三角形ABC的中位線，即OF平行與AB，由等邊三角形的內角為60度得到∠ABC與∠ACB為60度，利用兩直線平行同位角相等得到∠BOD與∠COF都為60度，可得出三角形BOD與三角形COF都為等邊三角形，扇形DOF的圓心角為60，由DE與BF都與AC垂直得到DE與BF平行，D為AB中點，可得出E為AF中點，利用中位線定理得到BF=2DE，求出BF的長，即為等邊三角形的高，在直角三角形BCF中，設CF=x，可得出BC=2x，根據勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出等邊三角形BOD與COF的邊長與扇形的半徑，由兩小等邊三角形的面積加上扇形的面積即可求出三角形ABC與半圓重合的面積．
點評：此題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，三角形的中位線定理，以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．