Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，E為CD 的中點，F為AD邊上一點，且不與點D重合，AF=a。
（1）判斷四邊形BCEF的面積是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，請說明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的條件下，若將“E為CD的中點”改為“CE=k·DE”，其中k為正整數，其他條件不變，請直接寫出tan∠AFB的值。（用k的代數式表示）

Answer 1

解：（1）如圖①， S四邊形BCEF=S正方形ABCE-S△ABF-S△DEF =42-×4×a×2×（4一a）=12-a， ∵F為AD邊上一點，且不與點D重合， ∴0≤a<4， ∴當點F與點A重合時，a=0，S四邊形BCEF存在最大值12， S四邊形BCEF不存在最小值；
（2）如圖②，延長BC、FE交于點P， ∵正方形ABCD中，AD∥BC， ∴△DEF∽△CEP， ∵E為CD的中點， ==1，PF=2EF ∵∠BFE=∠FBC ∴PB=PF， ∴AF=a， ∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，EF=， ∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2， ∴（）2 =22+（4-a）2， 整理，得3a2-16a+16=0， 解得a1=，a2=4 ∵F點不與D點重合， ∴a=4不成立， ∴a=，tan∠AFB==3；
（3） tan∠AFB=2k+l。（K為正整數）