Question

如圖所示，在直角坐標系中，矩形OBCD的邊長OB=4，OD=2，點P是射線OB上一個動點，動點Q在PB或其延長線上運動，OP=PQ，作以PQ為一邊的正方形PQRS，點P從O點開始沿射線OB方向運動，運動速度是1個單位/秒，運動時間為t秒，直到點P與點B重合為止．
（1）設正方形PQRS與矩形OBCD重疊部分的面積為y，寫出y與t的函數關系式；
（2）y=2時，求t的值；
（3）當t為何值時，三角形CSR為等腰三角形？

Answer 1

解：（1）y=t²；（0≤t≤2）
y=-2t+8．（2＜t≤4）

（2）y=2分別代入分段函數式．
2=t²
t=或t=-（舍去）．
2=-2t+8
t=3
當t=3或t=時，y的值為2．

（3）從圖上可知PB=4-t，BQ=2t-4，
PB=BQ，
4-t=2t-4
t=．
當t=時，△CSR為等腰三角形．
分析：（1）本題要分兩種情況．
①當RQ≤BC時，即當0≤t≤2時，重合部分是正方形PSRQ的面積，因此y=t²．
②當RQ＞BC時，即2＜t≤4時，重合部分是個矩形，且以（4-t）為長，以BC為寬，因此此時的函數關系為y=2（4-t）．
（2）由于（1）是分段函數，先根據t的值，確定所在的取值范圍，然后代入所符合的函數關系式中求解即可．
（3）當BC垂直平分PQ時，即B為PQ的中點時，△CRS是等腰三角形．
點評：本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定和性質以及正方形的性質．