Question

把直線y=-2x+2沿x軸翻折恰好與拋物線y=ax²+bx+2交于點C（1，0）和點A（8，m）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與y軸相交于點B，設點P是x軸上的任意一點（點P與點C不重合），若S_△ABC=S_△ACP，求滿足條件的P點的坐標；
（3）設點P是x軸上的任意一點，試判斷：PA+PB與AC+BC的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將直線y=-2x+2沿x軸翻折，那么新直線的斜率與原直線的斜率正好互為相反數，根據得出的直線的解析式可求得A點的坐標，然后將A、C的坐標代入拋物線中即可求得二次函數的解析式．
（2）先求出三角形ABC的面積，然后根據三角形ABC和三角形APC的面積相等，求出PC的長，即可求出P點的坐標．
（3）本題要分情況討論：
①當P、C重合時，PA+PB=AC+BC；
②當P、C不重合時，可找出B點關于x軸的對稱點（其實此點就是直線AC與y軸的交點）E，然后連接AE，此時發現AE正好過C點，因此AC+BC=AE，連接PB、PE，那么PA+PB=PA+PE，在三角形PAE中，根據三角形三邊關系可得出PA+PE＞PE，因此PA+PB＞AC+BC．
綜上所述即可得出所求的結論（主要根據軸對稱和兩點之間線段最短來求解）．

解答：解：（1）依題意，直線y=-2x+2沿x軸翻折所得到的解析式為y=2x-2
又∵直線y=2x-2過點A（8，m），
∴m=14．即點A（8，14），
又拋物線y=ax²+bx+2過點C（1，0）和點A（8，14），
a+b+2=0，64a+8b+2=14，
∴a=

1

2

，b=

5

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

5

2

x+2．

（2）如圖1，設點P坐標為（x，0），
則S_△ACP=

1

2

•PC•12=

1

2

|x-1|•14，
又∵S_△ABC=S_梯形ABOF-S_△BOC-S_△ACF
=

1

2

（2+14）•8-

1

2

•1•2-

1

2

•7•14
=14．
∵S_△ABC=S_△ACP，
∴

1

2

|x-1|•14=14
∴x₁=3，x₂=-1，
∴點P坐標為（3，0）或（-1，0）．

（3）如圖2，結論：PA+PB≥AC+BC．
理由是：①當點P與點E重合時，有PA+PB=AC+BC．
②當點P異于點C時，
∵直線AC的解析式為y=2x-2，
∴直線AC與y軸相交于點E（0，-2）．
則點E（0，-2）與B（0，2）關于x軸對稱，
∴BC=EC，連接PE，則PE=PB．
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE，
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC．
綜上所得AP+BP≥AC+BC．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、軸對稱圖形等知識點．