Question

對于某一自變量為x的函數，若當x=x₀時，其函數值也為x₀，則稱點（x₀，x₀）為此函數的不動點．現有函數y=

3x+a

x+b

，
（1）若y=

3x+a

x+b

有不動點（4，4），（-4，-4），求a，b；
（2）若函數y=

3x+a

x+b

的圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求實數a，b應滿足的條件；
（3）已知a=4時，函數y=

3x+a

x+b

仍有兩個關于原點對稱的不動點，則此時函數y=

3x+a

x+b

的圖象與函數y=-

5

x+3

的圖象有什么關系？與函數y=-

5

x

的圖象又有什么關系？

Answer 1

分析：（1）把（4，4），（-4，-4）代入函數解析式得到關于a，b的方程組，然后解方程組就可以確定函數的解析式；
（2）根據兩點關于原點知道：縱坐標相同，橫坐標互為相反數可以得到關于b的一元二次方程，再利用根與系數的關系確定a，b應滿足的條件；
（3）根據（2）知道b=3，現在可以確定函數的解析式，把它化成y=3-

5

x+3

，然后根據平移的規律可以得到與y=-

5

x+3

，y=-

5

x

的關系．

解答：解：（1）將（4，4）、（-4，-4）代入y=

3x+a

x+b

中，得

12+a 4+b =4 -12+a -4+b =-4

，解得

a=16 b=3

（2）令

3x+a

x+b

=x，得：3x+a=x²+bx（x≠-b）
即x²+（b-3）x-a=0
設方程的兩根為x₁，x₂，則兩個不動點（x₁，x₂），（x₂，x₂），
由于它們關于原點可以得到對稱為，所以x₁+x₂=0，
∴

b-3=0 (b-3)2=4a＞0

，解得

a＞0 b=3

，
又因為x≠-b，即x≠-3，所以以a≠9，
因此a，b滿足條件a＞0且a≠9，b=3；

（3）由（2）知b=3，此時函數為y=

3x+4

x+3

，
即y=3-

5

x+3

∴函數y=

3x+4

x+3

的圖象可由y=-

5

x+3

的圖象向上平移3個單位得到，
又函數y=-

5

x+3

的圖象可由函數y=-

5

x

的圖象向左平移3個單位得到，
∴函數y=

3x+4

x+3

的圖象可由函數y=-

5

x

的圖象向左平移3個單位，再向上平移3個單位得到．

點評：此題首先考查了用待定系數法確定函數的解析式，然后考查了利用平移規律找到幾個圖象相同的函數之間的聯系．