Question

如圖，在⊙O中弦AB⊥CD于點E，過E作AC的垂線交BD于點Q，P為垂足，求證Q為BD的中點．

Answer 1

證明：∵AB⊥CD于點E，過E作AC的垂線交BD于點Q，
∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．
∴∠DEQ=∠CEP（對頂角相等）．
∠CEP=∠A（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D（同弧所對的圓周角相等），
∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角對等邊）．
又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），
∴EQ=QB．
∴EQ=QD=QB，即Q為BD的中點．
分析：在Rt△ACE，Rt△ACE中有∠CEP=∠A，∠DEQ與∠CEP是對頂角，由同弧所對的圓周角相等得∠A=∠D，∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD再根據等角的余角相等得∠QEB=∠B，∴EQ=QB，∴EQ=QD=QB，即Q為BD的中點．
點評：本題利用了直角三角形的性質、同弧所對的圓周角相等、等角的余角相等，等角對等邊求解．