Question

如圖，已知在△ABC中，D為AC上一點，且AD=DC+CB．過D作AC的垂線交外接圓于M，求證：M為優弧

AB

的中點．

Answer 1

分析：延長AC至E，使CE=BC，連MA，MB，ME，BE，由AD=DC+CB，得AD=DC+CE=DE，則∠1=∠3，而AD⊥AE，得到MA=ME；再由CE=CB，得∠2=∠5，而∠3=∠4=∠1，得到∠MBE=∠MEB，則ME=MB，于是有MA=MB，根據在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等得到M為優弧

AB

的中點．

解答：證明：延長AC至E，使CE=BC，連MA，MB，ME，BE，如圖，
∵AD=DC+CB，
∴AD=DC+CE=DE，
∴∠1=∠3，
而MD⊥AE，
∴MA=ME；
又∵CE=CB，
∴∠2=∠5，
∵∠3=∠4=∠1，
∴∠1+∠2=∠4+∠5，
即∠MBE=∠MEB，
∴ME=MB，
∴MA=MB，
∴弧MA=弧MB，
∴M為優弧

AB

的中點．

點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查等腰三角形的判定與性質以及圓周角定理的推論．