Question

（2008•煙臺）如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2．
（1）求證：△BDE≌△BCF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由；
（3）設△BEF的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用菱形的性質和正三角形的特點進行證明；
（2）△BEF為正三角形，可解用（1）全等的結論證明；
（3）作出恰當的輔助線，構成直角三角形，根據直角三角形的特點和三角函數進行計算．
解答：（1）證明：∵菱形ABCD的邊長為2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，
∴DE=CF，
∴△BDE≌△BCF；

（2）解：△BEF為正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；

（3）解：設BE=BF=EF=x，
則S=•x•x•sin60°=x²，
當BE⊥AD時，x最小=2×sin60°=，
∴S_最小=×=，
當BE與AB重合時，x最大=2，
∴S_最大=×2²=，
∴．
點評：本題考查的是菱形的面積求法及菱形性質的綜合運用．