Question

（2011內(nèi)蒙古赤峰，25，14分）如圖（圖1、圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在線段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CP于點F，F(xiàn)N⊥BC，交BC的延長線于點N。

（1）若點E是BC的中點（如圖1），AE與EF相等嗎？為什么？

（2）點E在BC間運動時（如圖2），設BE=x, △ECF的面積為y。

①求y與x的函數(shù)關系式；

②當x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值。

 

Answer 1

解：（1）相等。

理由：∵四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點

∴∠B=∠DCN=90°. AB=BC=2BE，

∴∠BAE+∠BEA=90°.

∵∠AEF=90°

∴∠AEB+∠FEC=90°.，

∴∠BAE=∠FEN.

∵CF是∠DCN的角平分線，∠FNC=90°。

∴∠FCN=∠CFN=45°.

∴FN=CN.

在Rt△ABE和Rt△ENF中

∴EN=2FN，∴EC＋CN=2CN，∴FN=BE .

∴Rt△ABE≌Rt△ENF.

∴AE=EF.

方法二：如圖，取AB的中點M，連結(jié)ME. 

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠DCN=90°，

∵點E是BC的中點

∴AM=MB=BE=EC

在Rt△MBE中，∠BME=∠BEM=45°.

∴∠AME=135°；

∵CF是∠DCN的角平分線，

∴∠FCN=45°.

∴∠ECF=135°.

∴∠AME=∠ECF ；

∵∠AEF=90° ；

∴∠AEB+∠FEC=90°；

在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°.

∴∠BAE=∠FEN  ；

∴△AME≌△ECF ；

∴AE=EF 。

∴BE(EC+CN)=CN(BE+EC) ;

∴BE·EC＋ BE·CN = BE·CN ＋CN·EC ;

∴BE·EC = CN·EC ;

∴BE = CN  ;

∴BE =FN = x ，     

∴。

②

當x =2時，y有最大值為2.

解析:略