Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a＜0）的部分圖象如圖所示，拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），對稱軸為直線x=1．
（1）若a=-1，求c-b的值；
（2）若實數m≠1，比較a+b與m（am+b）的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為拋物線上網對稱軸為x=1，由拋物線對稱性可知，其與x軸的另一個交點為（-1，0），把x=-1代入函數的解析式即可得到c-b的值；
（2）當m≠1時，a+b＞m（am+b），把x=1和x=m分別代入函數的解析式得到關于a，b，c的關系式，因為頂點的橫坐標為1，所以當x=1時函數取最大值y=a+b+c，
即a+b+c＞am²+bm+c，進而證明a+b＞m（am+b）．
解答：解：（1）由拋物線對稱性可知，其與x軸的另一個交點為（-1，0），
∴a-b+c=0．
當a=-1時，解得 c-b=1．

（2）當m≠1時，a+b＞m（am+b），
理由如下：
當x=1時，y=a+b+c，
當x=m時，y=am²+bm+c，
∵a＜0，
∴當x=1時，函數取最大值y=a+b+c，
∴當m≠1時，a+b+c＞am²+bm+c，
∴a+b＞am²+bm，
即a+b＞m（am+b）．
點評：本題考查了二次函數的圖象和x軸交點的問題，求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．