Question

如圖，∠AOB=45°，過OA上到點O的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點作OA的垂線與OB相交，得到并標出一組黑色梯形，它們的面積分別 為S₁，S₂，S₃，S₄，…．觀察圖中的規律，第n（n為正整數）個黑色梯形的面積是S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：由∠AOB=45°及題意可得出圖中的三角形都為等腰直角三角形，且黑色梯形的高都是2；根據等腰直角三角形的性質，分別表示出黑色梯形的上下底，找出第n個黑色梯形的上下底，利用梯形的面積公式即可表示出第n個黑色梯形的面積．
解答：解：∵∠AOB=45°，
∴圖形中三角形都是等腰直角三角形，
從圖中可以看出，黑色梯形的高都是2，
第一個黑色梯形的上底為：1，下底為：3，
第2個黑色梯形的上底為：5=1+4，下底為：7=1+4+2，
第3個黑色梯形的上底為：9=1+2×4，下底為：11=1+2×4+2，
則第n個黑色梯形的上底為：1+（n-1）×4，下底為：1+（n-1）×4+2，
故第n個黑色梯形的面積為：×2×[1+（n-1）×4+1+（n-1）×4+2]=8n-4．
故答案為：8n-4．
點評：此題考查了直角梯形的性質與等腰直角三角形的性質．此題屬于規律性題目，難度適中，注意找到第n個黑色梯形的上底為：1+（n-1）×4，下底為1+（n-1）×4+2是解此題的關鍵．