Question

已知拋物線y=-x²-x+m與x軸有兩個不同的交點A、B，拋物線的頂點為C．求是否存在實數m，使△ABC為等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：令y=0，得到關于x的一元二次方程，求出兩根之和與兩根之積表達式，然后求出AB的距離，求出函數的頂點坐標，利用等腰直角三角形的性質，令頂點縱坐標的絕對值等于AB的一半即可得到關于m的方程．若能求出m的值，則m的值存在，否則不存在．
解答：解：設A、B的坐標為（x₁，0），（x₂，0），
由-x²-x+m=0，有x₁+x₂=-，x₁•x₂=-m，
∴|AB|=|x₁-x₂|===，
又∵-=-=-，=，
∴頂點C的坐標為（-，），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴||=|AB|=，
∴m=1．
點評：本題考查了二次函數綜合題，涉及函數與方程的關系、等腰直角三角形的性質、二次函數的最值等，要綜合分析，認真解答．