Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點E為△ABC內切圓的圓心，連接AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D；連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM=∠DAC．

（1）求證：直線DM是⊙O的切線；

（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）根據垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC，再根據∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，進而得到OD⊥DM，據此可得直線DM是⊙O的切線；

（2）根據三角形內心的定義以及圓周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DFDA，據此解答即可．

（1）如圖所示，連接OD．

∵點E是△ABC的內心，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴OD⊥BC．

又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．

又∵OD為⊙O半徑，∴直線DM是⊙O的切線．

（2）連接BE．∵E為內心，∴∠ABE=∠CBE．

∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．

又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴，即DB2=DFDA．

∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DFDA=12，∴DB=DE=2．