Question

如圖1若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．

   （1）當把△ADE繞A點旋轉到圖2位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；

   （2）當△ADE繞A點旋轉到圖3位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）CD=BE．理由如下:　

        ∵△ABC和△ADE為等邊三角形   

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60^o

    ∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60^o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60^o－∠EAC，      

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD

        ∴CD=BE

   （2）△AMN是等邊三角形．理由如下：

        ∵△ABE ≌ △ACD，    ∴∠ABE=∠ACD．

        ∵M、N分別是BE、CD的中點，

        ∴BM=

        ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

        ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

        ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60^o

        ∴△AMN是等邊三角形．

        設AD=a，則AB=2a．

       ∵AD=AE=DE，AB=AC，     ∴CE=DE．

        ∵△ADE為等邊三角形，   ∴∠DEC=120 ^o，  ∠ADE=60^o，

       ∴∠EDC=∠ECD=30^o  ，    ∴∠ADC=90^o．

       ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 ^o ，   ∴ CD=．

∵N為DC中點，

∴， ∴．

∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，

∴S_△ADE∶S_△ABC∶ S_△AMN

解法二：△AMN是等邊三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分別是BE、CN的中點，∴AM=AN，NC=MB．

∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC   ，

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60^o

∴△AMN是等邊三角形

設AD=a，則AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a

易證BE⊥AC，∴BE=，

∴  ∴

∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形

    ∴S_△ADE∶S_△ABC∶ S_△AMN