Question

（2008•徐州）如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°
操作：將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q．
探究一：在旋轉過程中，
（1）如圖2，當時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并給出證明；
（2）如圖3，當時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并說明理由；
（3）根據你對（1）、（2）的探究結果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數量關系式為______，其中m的取值范圍是______

Answer 1

【答案】分析：探究一：（1）連接BE，根據已知條件得到E是AC的中點，根據等腰直角三角形的性質可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結論；
（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據兩個角對應相等證明△MEP∽△NWQ，發現EP：EQ=EM：EN，再根據等腰直角三角形的性質得到EM：EN=AE：CE；
（3）根據（2）中求解的過程，可以直接寫出結果；要求m的取值范圍，根據交點的位置的限制進行分析．
探究二：（1）設EQ=x，結合上述結論，用x表示出三角形的面積，根據x的最值求得面積的最值；
（2）首先求得EQ和EB重合時的三角形的面積的值，再進一步分情況討論．
解答：解：探究一：（1）連接BE，根據E是AC的中點和等腰直角三角形的性質，得
BE=CE，∠PBE=∠C，
又∠BEP=∠CEQ，
則△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，
∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，
∴∠MEP=∠NEF，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

（3）過E點作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，
∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°（四邊形的內角和是360°），
又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），
∴∠MPE=∠EQN（等量代換），
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA），
∴（兩個相似三角形的對應邊成比例）；
在Rt△AME∽Rt△ENC
∴=m=
∴=1：m=，EP與EQ滿足的數量關系式為1：m，
∴0＜m≤2+；（當m＞2+時，EF與BC不會相交）．

探究二：若AC=30cm，
（1）設EQ=x，則S=x²，
所以當x=10時，面積最小，是50cm²；
當x=10時，面積最大，是75cm²．

（2）當x=EB=5時，S=62.5cm²，
故當50＜S≤62.5時，這樣的三角形有2個；
當S=50或62.5＜S≤75時，這樣的三角形有一個．
點評：熟練運用等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定和性質進行求解．