Question

等邊△OAB在平面直角坐標系中（圖1），已知點A（2，0），將△OAB繞點O順時針方向旋轉a°（0＜a＜360）得△OA₁B₁．
（1）直接寫出點B的坐標；
（2）當a=30°時，求△OAB與△OA₁B₁重合部分（圖2中的陰影部分）的面積；
（3）當A₁，B₁的縱坐標相同時，求a的值；
（4）當60＜a＜180時，設直線A₁B₁與BA相交于點P，PA、PB₁的長是方程x²-mx+m=0的兩個實數根，求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A點坐標可知，正三角形的邊長是2，過B作x軸的垂線，根據三角函數即可求得；
（2）陰影部分的面積=S_△OAN-S_△QAM，而這兩個三角形的面積很容易得到；
（3）當A₁，B₁的縱坐標相同時，A₁B₁∥x軸，a₁=120°或a₂=300°
（4）可以證明PA=PB₁，即方程x²-mx+m=0的兩個相等實數根，根據根的判別式即可求得m的值，從而求得PA，PB₁的長，得到P的坐標．
解答：解：（1）B的坐標是（1，）；（1分）

（2）圖2中的陰影部分的面積=S_△OAN-S_△QAM
=×1××
=6-；（3分）

（3）當A₁，B₁的縱坐標相同時，A₁B₁∥x軸，
∴a₁=120°或a₂=300°；（5分）

（4）連接AB₁，

∵OA=OB₁=2，
∴∠OAB₁=∠0B₁A
∴∠PB₁G=∠B₁AH，
又∵∠PAB₁=180°-60°-∠B₁AH=120°-∠B₁AH
∠PB₁A=180°-60°-∠AB₁G=120°-∠AB₁G
∴∠PAB₁=∠PB₁A，
∴PA=PB₁（6分）
∴方程x²-mx+m=0的兩個相等實數根，（7分）
△=（-m）²-4m=0
m₁=0（舍去），m₂=4（8分）
方程為：x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∴PA=PB₁=2（9分）
在直角△APM中，PM=AP•sin60°=2×=，
AM=AP•cos60°=1，則OM=OA-AM=3-1=2．
∴P點坐標為（3，）（10分）
點評：本題綜合運用了平行于x軸的點的坐標的關系，以及一元二次方程的根的判別式，題目難度較大．