Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=

3

，BC=3，在BC上取兩點E，F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE，PF分別交AC于點G，H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，先直接判斷△APH與△CFH是如下關系中的哪一種：然后證明你的判斷．
①△APH與△CFH全等；
②△APH與△CFH相似；
③△APH與△CFH成中心對稱；
④△APH與△CFH成軸對稱；
（3）若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論．

Answer 1

分析：（1）△PEF的高等于矩形的長，過P作PQ⊥BC于Q，利用三角函數即可求解；
（2）根據AD∥BC即可證明兩個三角形相似；
（3）根據等角對等邊即可證明FC=FH，根據PH+FH=2，BE+EF+FC=3即可求解．

解答：解：（1）過P作PQ⊥BC于Q
∵矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC∴PQ=AB=

3

∵△PEF是等邊三角形∴∠PFQ=60°在Rt△PQF中，sin60°=

3

PF

∴PF=2∴△PEF的邊長為2． （4分）

（2）判斷：△APH∽△CFH∵矩形ABCD∴AD∥BC∴∠2=∠1
又∵∠3=∠4，∴△APH∽△CFH （9分）

（3）猜想：PH與BE的數量關系是：PH-BE=1
證法一：在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3∴tan∠1=

AB

BC

=

3

3

∴∠1=30°，∵△PEF是等邊三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2，∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°
∴∠1=∠3，∴FC=FH，∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，∴PH-BE=1

證法二：在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，∴tan∠1=

AB

BC

=

3

3

∴∠1=30°∵△PEF是等邊三角形，PE=2，∴∠2=∠4=∠5=60°，∴∠6=90°
在Rt△CEG中，∠1=30°，∴EG=

1

2

EC，即EG=

1

2

(3-BE)
在Rt△PGH中，∠7=30°，∴PG=

1

2

PH，∴PE=EG+PG=

1

2

(3-BE)+

1

2

PH=2，∴PH-BE=1
證法三：在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，∴tan∠1=

AB

BC

=

3

3

，
AC²=AB²+BC²，∴∠1=30°，AC=2

3

，∵△PEF是等邊三角形，∴∠4=∠5=60°
∴∠6=∠8=90°，∴△EGC∽△PGH，∴

PH

EC

=

PG

EG

，∴

PH

3-BE

=

2-EG

EG

①∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，∴△CEG∽△CAB，∴

EG

AB

=

EC

AC

，即

EG

3

=

3-BE

2 3

，∴EG=

1

2

(3-BE)
②把②代入①得，

PH

3-BE

=

2- 1 2 (3-BE)

1 2 (3-BE)

，∴PH-BE=1 （14分）

點評：本題主要考查了等邊三角形的計算，以及相似三角形的判定與性質，等腰三角形的計算可以通過作高線轉化為直角三角形的計算．