Question

【題目】如圖，在五邊形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分別找一點M、N，若要使△AMN的周長最小時，則△AMN的最小周長為______．

Answer 1

【答案】4

【解析】分析：利用點的對稱，讓△AMN的三邊在同一直線上，即作出A關于BC和ED的對稱點A′，A″，即可得出最短路線，再利用勾股定理，求出即可．

詳解：作A關于BC和ED的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交ED于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．

過A′作EA延長線的垂線，垂足為H，

∵AB=BC=2，AE=DE=4，

∴AA′=2BA=4，AA″=2AE=8，

則Rt△A′HA中，

∵∠EAB=120°，

∴∠HAA′=60°，

∵A′H⊥HA，

∴∠AA′H=30°，

∴AH=AA′=2，

∴A′H=，，

A″H=2+8=10，

∴A′A″=.

故答案為：.