Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OEFG的頂點E坐標為（4，0），頂點G坐標為（0，2）．將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點A．
（1）判斷△OGA和△NPO是否相似，并說明理由；
（2）求過點A的反比例函數解析式；
（3）若（2）中求出的反比例函數的圖象與EF交于B點，請探索：直線AB與OM是否垂直，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據矩形性質得出∠P=∠AGO=90°，PN∥OM，根據平行線性質求出∠PNO=∠AOG，根據相似三角形的判定推出即可；
（2）根據相似得出比例式，求出AG長，即可得出A的坐標，設過點A的反比例函數解析式是y=

k

x

，把A的坐標代入求出即可；
（3）求出B的坐標，求出

AG

BF

=

OG

AF

，根據∠AGO=∠F=90°證△AGO∽△BFA，推出∠OAG=∠ABF，求出∠OAG+∠FAB=90°，求出∠OAB的度數，根據垂直定義推出即可．

解答：（1）解：△OGA∽△NPO，
理由是：∵將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠AGO=90°，PN∥OM，
∴∠PNO=∠AOG，
∴△OGA∽△NPO；

（2）解：∵△OGA∽△NPO，
∴

AG

OP

=

OG

NP

，
∵OP=OG=2，PN=OM=OE=4，
∴AG=1，
∴A（1，2），
設過點A的反比例函數解析式是y=

k

x

，代入得：k=2，
即過點A的反比例函數解析式是y=

2

x

；

（3）解：AB⊥OM，
理由是：∵把x=4代入y=

2

x

得：y=

1

2

，
即B（4，

1

2

），
∴BE=

1

2

，BF=2-

1

2

=

3

2

，
∵A（1，2），
∴AG=1，OG=2，
∴AF=4-1=3，
∴

AG

BF

=

1

3 2

=

2

3

，

OG

AF

=

2

3

，
∴

AG

BF

=

OG

AF

，
∵∠AGO=∠F=90°，
∴△AGO∽△BFA，
∴∠OAG=∠ABF，
∵∠FAB+∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠OAG+∠FAB=90°，
∴∠OAB=180°-90°=90°，
∴AB⊥OM．

點評：本題考查了矩形性質，三角形的內角和定理，相似三角形的性質和判定，用待定系數法求反比例函數的解析式等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，綜合性比較強，有一定的難度．