Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，縱坐標為a的點A在y軸上，橫坐標為b的點B在x軸上，實數a，b滿足|a+b﹣8|+（3a﹣2b+1）2＝0

（1）求a，b的值；

（2）如圖1，第一象限的點P在∠AOB的平分線OC上，過點P作x軸的垂線，點D為垂足，設線段PD的長為d，△PAB的面積為S（S≠0）用含d的式子表示S，并直接寫出相應的d的范圍

（3）在（2）的條件下，如圖2，當PA⊥PB時，點E在x軸上，連接PE，∠APE＝2∠ABO，求PE的長．

Answer 1

【答案】（1）a=3，b=5；（2）S=；（3）PE=.

【解析】

（1）由絕對值和平方的非負性可知，a+b-8=0，3a-2b+1=0，聯立成方程組即求得a、b的值．

（2）過點P作PH⊥y軸于點H，由角平分線性質可得PH=PD=d，即d為△OAP與△OBP分別以OA、OB為底時的高．求直線AB、OC解析式，聯立方程組求得交點R的坐標，即得到點P在線段OR上和射線RC上的范圍．當點P在線段OR上時，△PAB面積等于△OAB面積減去△OAP、OBP面積的和；當點P在射線RC上時，△PAB面積等于△OAP、△OBP面積的和減去△OAB面積，代入計算即得到S關于d的函數關系式．

（3）先證∠PBO=∠HAP，再證△PAH≌△PBD，進而得△APB是等腰直角三角形，所以∠PAB=∠POB=45°，由三角形內角和180°轉換得∠APO=∠ABO．再由∠APE=2∠ABO證得∠APO=∠EPO，進而得△AOP≌△EOP，PA=PE=PB，OA=OE=3，DE=BD=1，求得PD=OD=4，最后用勾股定理求得PE的長．

解：（1），

由，，

得，解得：.

（2）設交于點，

過點作軸于，則，

當點在線段上（不包括端點，）時，相應的的范圍為.

當點在射線上（不包括端點）時，相應的的范圍為.

∴S=；

（3）∵，

∴，

∴

且，

∴，

∵.

∵平分,，，

∴.

∴，

∴，且，

∴是等腰直角三角形，

∴且，，

∴，

∵，

∴，且，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.