【題目】如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，CF平分∠BCD，交EA的延長線于點F，且BC=4，CD=2，給出下列結論：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=
；④AF=
，其中正確結論的個數有（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個32
【答案】C
【解析】
解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正確；
∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC=
=
，∴∠DBC≠30°，故②錯誤；
∵BD=
=
，∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE∽△DBA，∴
，即
，∴AE=
；故③正確；
∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°﹣∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC，∵AC=BD=，∴AF=，故④正確；
故選C．
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【題目】商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數量充足，某同學去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同．
（1）若他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是 ；
（2）若他兩次去買飲料，每次買一瓶，且兩次所買飲料品種不同，請用樹狀圖或列表法求出他恰好買到雪碧和奶汁的概率．
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【題目】某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖
（1）所示位置放置放置，現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），如圖（2），AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．
（1）求證：AM=AN；
（2）當旋轉角α=30°時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．
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【題目】定義：如圖1，拋物線
（
）與
軸交于
，
兩點，點
在該拋物線上（點與，兩點不重合），如果
的三邊滿足
，則稱點為拋物線（）的勾股點.
（1）求證：點
是拋物線
的勾股點.
（2）如圖2，已知拋物線
（）與軸交于，兩點，點
是拋物線
的勾股點，求拋物線的函數表達式.
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【題目】如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x交于（1，1）和（3，3）兩點，現有以下結論：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③當x2+bx+c＞
時，x＞2；④當1＜x＜3時，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正確的序號是（ ）
A. ①②④B. ②③④C. ②④D. ③④
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【題目】如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC.
（1）求證ΔADE∽ΔABC；
（2）若AD=3，AB=5，求
的值.
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【題目】閱讀下面內容：我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發現：
當a＞0，b＞0時：
∵（
）2=a﹣2
+b≥0
∴a+b≥2，當且僅當a=b時取等號．
請利用上述結論解決以下問題：
（1）請直接寫出答案：當x＞0時，x+
的最小值為 ．當x＜0時，x+的最大值為 ；
（2）若y=
，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．
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【題目】綜合與探究
如圖，拋物線
的圖象經過坐標原點O，且與
軸的另一交點為(
，0).
(1)求拋物線的解析式；
(2)若直線
與拋物線相交于點A和點B(點A在第二象限)，設點A′是點A關于原點O的對稱點，連接A′B，試判斷ΔAA′B的形狀，并說明理由；
(3)在問題(2)的基礎上，探究：平面內是否存在點P，使得以點A，B，A′，P為頂點的四邊形是菱形？若存在直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
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