Question

（1997•南京）已知：a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊（a＞b）．二次函數y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²的圖象的頂點在x軸上，且sinA、sinB是關于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩個根．
（1）判斷△ABC的形狀，關說明理由；
（2）求m的值；
（3）若這個三角形的外接圓面積為25π，求△ABC的內接正方形（四個頂點都在三角形三邊上）的邊長．

Answer 1

分析：（1）先由二次函數y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²的圖象的頂點在x軸上，得到判別式△=0，進而得到a²+b²=c²，再根據勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形；
（2）先利用互余兩角三角函數之間的關系得到sinB=cosA，再根據一元二次方程根與系數的關系得到

sinA+cosA= 2m-5 m+5 sinA•cosA= m-8 m+5

，然后利用同角三角函數之間的關系求得m的值；
（3）先由圓的面積公式求出△ABC的外接圓半徑R=5，則斜邊c=10，再將m=20代入方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0，
得到25x²-35x+12=0，解方程求出x的值，進而求得a=8，b=6．當正方形的四個頂點都在△ABC的三邊上時，分兩種情況進行討論：①如圖1，正方形CDEF有兩條邊在△ABC的直角邊上；②如圖2，正方形DEFG有一條邊在△ABC的斜邊上．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
將y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²化簡，整理得：y=x²-2（a+b）x+2ab+c²，
∵此函數圖象的頂點在x軸上，
∴

4(2ab+c2)-4(a+b)2

4

=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA，
∴sinA、cosA是關于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩個根，
∴

sinA+cosA= 2m-5 m+5 sinA•cosA= m-8 m+5

，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1，
∴（

2m-5

m+5

）²-2×

m-8

m+5

=1，
整理，得m²-24m+80=0，
解得m₁=20，m₂=4．
經檢驗，m₁=20，m₂=4都是原方程的根，
但是，當m₁=20時，sinA+cosA＞0，sinA•cosA＞0，
當m₂=4時，sinA+cosA＞0，sinA•cosA＜0，舍去，
∴m=20；

（3）∵△ABC的外接圓面積為25π，
∴外接圓半徑R=5，
∴斜邊c=10．
當m=20時，原方程變為25x²-35x+12=0，
解得x₁=

4

5

，x₂=

3

5

，
∴a=8，b=6．
設正方形的邊長為x．
圖1中，由EF：BC=AF：AC，得x：8=（6-x）：6，
解得x=

24

7

；
圖2中，CH=

24

5

，
CK：CH=DG：AB，（

24

5

-x）：

24

5

=x：10，
解得x=

120

37

．
綜上可知，△ABC的內接正方形（四個頂點都在三角形三邊上）的邊長為

24

7

或

120

37

．

點評：本題考查了二次函數的性質，勾股定理的逆定理，互余兩角、同角的三角函數之間的關系，一元二次方程根與系數的關系，相似三角形的判定與性質等知識，綜合性較強，有一定難度．