Question

如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊CD、AD上，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S_△AOB=S_{四邊形DEOF}．其中正確的是（　　）

A．、①②

B．①②③

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

分析：根據正方形的性質由條件CE=DF，可以求出AF=DE，從而證明△BAF≌△ADE，就可以得出AE=BF，S_△BAF=S_△ADE，∠ABF=∠DAE，再根據等式的性質就可以求出S_△AOB=S_{四邊形DEOF}．就可以求出∠AOF=90°．連接EF，在Rt△EFD中可以求出EF＞DF，就有EF＞AF，若AO=OE就有AF=EF，從而得出結論，

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠ADC=90°．
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，
即AF=DE．
在△BAF和△ADE中，
∵

AB=CD ∠BAD=∠ADC AF=DE

，
∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF，S_△BAF=S_△ADE，∠ABF=∠DAE，
∴S_△BAF-S_△AOF=S_△ADE-S_△AOF，
即S_△AOB=S_{四邊形DEOF}．
∵∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠EAF+∠AFB=90°，
∴∠AOF=90°，
∴AE⊥BF；
連接EF，在Rt△DFE中，∠D=90°，
∴EF＞DE，
∴EF＞AF，
若AO=OE，且AE⊥BF；
∴AF=EF，與EF＞AF矛盾，
∴假設不成立，
∴AO≠OE．
∴①②④是正確的，
故選C．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，三角形的面積關系的運用及直角三角形的性質的運用，在解答中求證三角形全等是關鍵．