Question

如圖，把一張矩形的紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F．
（1）線段BF與DF相等嗎？請說明理由．
（2）若將折疊的圖形恢復原狀，點F與BC邊上的點G正好重合，連接DG，試判斷四邊形BGDF的形狀，并說明理由．
（3）若AB=4，AD=8，在（1）、（2）的條件下，求線段DG的長．

Answer 1

解：（1）BF=DF．
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴FD∥BC，
∴∠FDB=∠DBG，
由折疊不變性知，∠FBD=∠GBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FB=FD；

（2）四邊形BGDF是菱形，
理由是：∵FD=FB，BG=BF，
∴FD=BG，
又∵FD∥BG，
∴四邊形BGDF是平行四邊形，
∵BG=BF，
∴四邊形BGDF是菱形；

（3）設AF=x，則BF=FD=8-x．
在Rt△ABF中，
x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3．
則DF=8-3=5，
即DG=5．
分析：（1）根據平行線的性質和折疊不變性求出兩角相等，再判斷出兩邊相等；
（2）判斷出四邊形BGDF是平行四邊形，再根據BG=BF，得出四邊形BGDF是菱形．
（3）設AF=x，則BF=FD=8-x，利用勾股定理即可求出DF的長，即為DG的長．
點評：此題結合矩形的性質、菱形的判定和性質，考查了翻折不變性，綜合性較強，是一道好題．