Question

正方形四邊條邊都相等，四個角都是90°。如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，點E是直線MN上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG。
（1）如圖1，當點E在線段BC上（不與點B、C重合）時：
①判斷△ADG與△ABE是否全等，并說明理由；
②過點F作FH⊥MN，垂足為點H，觀察并猜測線段BE與線段CH的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，當點E在射線CN上（不與點C重合）時：
①判斷△ADG與△ABE是否全等，不需說明理由；
②過點F作FH⊥MN，垂足為點H，已知GD=4，求△CFH的面積。

Answer 1

解：
（1）①△BAE≌△DAG．理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG。
∴△BAE≌△DAG；
②CH=BE．理由如下：
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，由①得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，AG=AE=EF，
∴∠BAE=∠DAG=∠EFH，
∴△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，
∴EH=AD=BC，
∴CH=BE。
（2）①△BAE≌△DAG．理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠ADG=∠ABE=90°，
∴在Rt△BAE與Rt△DAG中，
∴△BAE≌△DAG；（HL）
②由（1）同理可得：
△EFH≌△AGD，△EFH≌△AEB，
∴GD=FH=CH=4，
∴△CFH的面積為：FH·CH=×4×4=8。