Question

（2006•衢州）在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標原點建立直角坐標系，將等腰梯形ABCD饒A點按逆時針方向旋轉90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉后的對應點）（圖1）
（1）寫出C﹑F兩點的坐標；
（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負半軸平行移動，設移動后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當點D移動到等腰梯形OEFG的內部時，求y與x之間的關系式；
（3）線段DC上是否存在點P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求這兩點的坐標其實求出其中一個也就知道另外一個的坐標了，我們求C的坐標即可．如果過點C向x軸引垂線，那么組成的以BC為斜邊的小直角三角形中，兩直角邊的長就都應該是2（可根據BC=2，∠A=∠C=45°，用正弦或余弦函數就能求出），那么C點的坐標就應該是（4，2）．而F點的橫坐標的絕對值等于C點縱坐標的絕對值，F點的縱坐標的絕對值等于C點橫坐標的絕對值，因此F的坐標應是（-2，4）．
（2）在（1）中，我們得出了點C的坐標，那么用同樣的方法可得出D點的坐標（2，2），當梯形向左平移x單位后，設DC與y軸交于H，那么DH=x-2．這樣我們可以根據重合部分的面積=梯形DHOA的面積-三角形AQO的面積（設AD、OG交于Q），那么關鍵是求出三角形AQO的面積，根據旋轉的性質可知，∠GQD=90°，即三角形AQO是個直角三角形，又因為∠AQO=45°，OA=x，那么很明顯三角形AQO的兩直角邊就應該是x，那么三角形AQO的面積=×（x）²=x²．在上面我們求出了DH的長，那么梯形AOHD的面積=×（x-2+x）×2=2x-2．因此重合部分的面積=梯形ADHO的面積-三角形AQM的面積=-x²+2x-2．也就求出了x、y的函數關系式．
（3）要分三種情況進行討論：
①以E為頂點，EF、EP為腰的等腰三角形，
②以F為頂點，EF、FP為腰的等腰三角形．
③以P為頂點，FP、EP為腰的等腰三角形．
我們根據（1）的結果不難得出E點的坐標是（0，6），F點的坐標是（-2，4）．根據P在DC線上那么，可設P點坐標是（m，2）．那么可用坐標系中兩點間的距離公式，分別按三種情況進行計算，得出符合條件的m的值．
解答：解：（1）C的坐標是（4，2），F的坐標是（-2，4）

（2）過D作DM⊥AB于M，過C作CN⊥AB于N，
圖（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，
因此DM=AM=2．
因此D點的坐標是（2，2）．
圖（2），當OA=x時，設DC交y軸于H，AD交GO于Q，那么DH=x-2．
所以梯形AODH的面積=×（DH+OA）×DM=2x-2．
△AQO中，根據旋轉的性質及旋轉角度為90度．可得：
∠AQO=90°，
又因為∠QAM=45°，
因此AQ=QO=x，
所以△AQO的面積=×AQ×OQ=x²
因此重合部分的面積y=S_梯形AODH-S_△AQO=2x-2-x²
即：y=-x²+2x-2（2＜x＜4）

（3）由于P點在DC線上，設點P的坐標為（m，2）．
根據旋轉的性質以及圖（1）中，B、C兩點的坐標可知：E點的坐標是（0，6），F點的坐標是（-2，4）．
①當以E為頂點，EF、EP為腰時，EF=EP=2，
因此（2）²=m²+（2-6）²，
即m²+16=8，此方程無解，
因此不存在這種情況．
②當以F為頂點，EF、FP為腰時，EF=FP=2，
因此（2）²=（m+2）²+（2-4）²，即m（m+4）=0，m=-4，m=0．
當m=-4時，P點坐標為（-4，2）．PE==4=2EF，
因此P、E、F在一條直線上構不成三角形，
因此此時P點的坐標應該是（0，2）．
③當以P為頂點，FP、EP為腰，EP=PF，
因此m²+（2-6）²=（m+2）²+（2-4）²，即m=2．
那么此時P的坐標為（2，2）．
綜上所述，存在符合條件的P點且坐標為（2，2）或（0，2）．
點評：本題結合梯形的性質考查二次函數的綜合應用，本題中根據梯形的性質得出梯形旋轉前后各頂點的坐標是解題的關鍵．