Question

如圖，正方形ABCD中，E是AB的中點，F是AD的四等分點即AF＝AD．求證：EF⊥EC．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：如圖(甲)，設正方形邊長為4a，則 　　∵E是AB中點，AF＝AD， 　　∴AE＝EB＝2a， 　　AF＝a，FD＝3a． 　　在Rt△AFE、Rt△BEC和Rt△DCF中， 　　EF2＝AF2＋AE2＝a2＋(2a)2＝5a2， 　　EC2＝EB2＋BC2＝(2a)2＋(4a)2＝20a2， 　　FC2＝FD2＋DC2＝(3a)2＋(4a)2＝25a2． 　　由5a2＋20a2＝25a2，得 　　EF2＋EC2＝FC2． 　　∴△EFC是直角三角形，且∠FEC＝． 　　即EF⊥EC． 　　證法2：如圖(乙)，延長FE交CB的延長線于G點，則 　　∵E是AB中點， 　　∴AE＝EB． 　　又∵∠1＝∠2，∠A＝∠ABG＝， 　　∴△AFE≌△BGE． 　　∴BG＝AF＝AD，EF＝EG， 　　∴CG＝CB＋BG＝AD＋AD 　　＝AD． 　　又∵AF＝AD，CD＝AD， 　　∴FD＝AD． 　　由勾股定理，得 　　FC＝＝＝AD． 　　∴FC＝GC． 　　∴EC⊥EF． 　　證法3：如圖(丙)，延長CE交DA的延長線于點H，則 　　∵E是AB中點， 　　∴AE＝EB． 　　又∵∠1＝∠2，∠B＝∠EAH＝， 　　∴△AHE≌△BCE． 　　∴AH＝BC，HE＝CE． 　　∴HF＝HA＋AF＝AD＋ 　　AD＝AD． 　　又∵FD＝AD，DC＝AD， 　　∴FC＝＝＝AD． 　　∴HF＝CF． 　　∴EF⊥EC．

提示：

點悟：因E、F分別是正方形ABCD邊上的特殊點，故可以考慮證明△EFC是直角三角形，或直接證明EF⊥EC，所以可以借助于它們之間的數量關系用勾股定理的逆定理求解，或添加輔助線，移動AF或BE的位置，構造新的圖形關系，從而直接證明． 　　點撥：對于正方形的有關問題，因其圖形特殊，用代數法解決幾何問題就顯得較簡捷易懂．如本題證法1．