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如圖,正方形ABCD中,E是AB的中點,F是AD的四等分點即AF=AD.求證:EF⊥EC.

答案:
解析:

  證法1:如圖(甲),設正方形邊長為4a,則

  ∵E是AB中點,AF=AD,

  ∴AE=EB=2a,

  AF=a,FD=3a.

  在Rt△AFE、Rt△BEC和Rt△DCF中,

  EF2=AF2+AE2=a2+(2a)2=5a2

  EC2=EB2+BC2=(2a)2+(4a)2=20a2

  FC2=FD2+DC2=(3a)2+(4a)2=25a2

  由5a2+20a2=25a2,得

  EF2+EC2=FC2

  ∴△EFC是直角三角形,且∠FEC=

  即EF⊥EC.

  證法2:如圖(乙),延長FE交CB的延長線于G點,則

  ∵E是AB中點,

  ∴AE=EB.

  又∵∠1=∠2,∠A=∠ABG=

  ∴△AFE≌△BGE.

  ∴BG=AF=AD,EF=EG,

  ∴CG=CB+BG=AD+AD

  =AD.

  又∵AF=AD,CD=AD,

  ∴FD=AD.

  由勾股定理,得

  FC=AD.

  ∴FC=GC.

  ∴EC⊥EF.

  證法3:如圖(丙),延長CE交DA的延長線于點H,則

  ∵E是AB中點,

  ∴AE=EB.

  又∵∠1=∠2,∠B=∠EAH=

  ∴△AHE≌△BCE.

  ∴AH=BC,HE=CE.

  ∴HF=HA+AF=AD+

  AD=AD.

  又∵FD=AD,DC=AD,

  ∴FC=AD.

  ∴HF=CF.

  ∴EF⊥EC.


提示:

  點悟:因E、F分別是正方形ABCD邊上的特殊點,故可以考慮證明△EFC是直角三角形,或直接證明EF⊥EC,所以可以借助于它們之間的數量關系用勾股定理的逆定理求解,或添加輔助線,移動AF或BE的位置,構造新的圖形關系,從而直接證明.

  點撥:對于正方形的有關問題,因其圖形特殊,用代數法解決幾何問題就顯得較簡捷易懂.如本題證法1.


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