如圖,正方形ABCD中,E是AB的中點,F是AD的四等分點即AF=AD.求證:EF⊥EC.
證法1:如圖(甲),設正方形邊長為4a,則 ∵E是AB中點,AF= ∴AE=EB=2a, AF=a,FD=3a. 在Rt△AFE、Rt△BEC和Rt△DCF中, EF2=AF2+AE2=a2+(2a)2=5a2, EC2=EB2+BC2=(2a)2+(4a)2=20a2, FC2=FD2+DC2=(3a)2+(4a)2=25a2. 由5a2+20a2=25a2,得 EF2+EC2=FC2. ∴△EFC是直角三角形,且∠FEC= 即EF⊥EC. 證法2:如圖(乙),延長FE交CB的延長線于G點,則 ∵E是AB中點, ∴AE=EB. 又∵∠1=∠2,∠A=∠ABG= ∴△AFE≌△BGE. ∴BG=AF= ∴CG=CB+BG=AD+ = 又∵AF= ∴FD= 由勾股定理,得 FC= ∴FC=GC. ∴EC⊥EF. 證法3:如圖(丙),延長CE交DA的延長線于點H,則 ∵E是AB中點, ∴AE=EB. 又∵∠1=∠2,∠B=∠EAH= ∴△AHE≌△BCE. ∴AH=BC,HE=CE. ∴HF=HA+AF=AD+ AD= 又∵FD= ∴FC= ∴HF=CF. ∴EF⊥EC. |
點悟:因E、F分別是正方形ABCD邊上的特殊點,故可以考慮證明△EFC是直角三角形,或直接證明EF⊥EC,所以可以借助于它們之間的數量關系用勾股定理的逆定理求解,或添加輔助線,移動AF或BE的位置,構造新的圖形關系,從而直接證明. 點撥:對于正方形的有關問題,因其圖形特殊,用代數法解決幾何問題就顯得較簡捷易懂.如本題證法1. |
科目:初中數學 來源: 題型:
A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com