Question

已知，如圖，A，E，F，C在一條直線上，AE=CF，過E，F分別作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，連BD交AC于點P，猜想：點P是哪些線段的中點？請選擇其中一個結論證明．

Answer 1

分析：猜想：點P是AC、EF、BD的中點，選擇P為BD中點證明，理由為：由AE=CF，等式左右兩邊都加上EF，得到AF=CE，再由BF與DE都與AC垂直，得到一對直角相等，在直角三角形中，AB=CD，AF=CE，利用HL得到兩直角三角形全等，由全等三角形的對應角相等得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到AB與CD平行，再由兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，以及AB=CD，利用ASA可得出三角形ABP與三角形CDP全等，由全等三角形的對應邊相等得到BP=DP，即P為BD的中點，得證．

解答：解：P為AC的中點，P為EF的中點，P為BD的中點，
選擇P為BD的中點，理由如下：
證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△AFB和Rt△CED中，
∵

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△AFB≌Rt△CED（HL），
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDP，
在△ABP和△CDP中，
∵

∠A=∠C AB=CD ∠ABP=∠CDP

，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴BP=DP，即P為BD的中點．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，其中全等三角形的判定方法有：SSS；ASA；SAS；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法）．