Question

在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與軸交于點C，點B的坐標為（3，0），將直線沿軸向上平移3個單位長度后恰好經過B、C兩點 ．

【小題1】求直線BC及拋物線的解析式
【小題2】設拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標；
【小題3】連結CD，求∠OCA與∠OCD兩角度數的和

Answer 1

【小題1】沿軸向上平移3個單位長度后經過軸上的點，．
設直線的解析式為．在直線上，．
解得，直線的解析式為．  ……………………………1分
拋物線過點，

解得
拋物線的解析式為．             ………………………3分
【小題2】由．
可得．，，，．
可得是等腰直角三角形．
，．
如圖，設拋物線對稱軸與軸交于點，
．
過點作于點．．可得，．
在與中，，，
．，．解得． ……………5分
點在拋物線的對稱軸上，
點的坐標為或．                ………………………………7分
【小題3】作點A（1,0）關于y軸的對稱點A′，則A′（-1,0）。
連結A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OC A′=∠OCA。
由勾股定理可得CD²=20， A′D²=10，
又 A′C²=10∴ A′D²+ A′C²=CD²。
∴△ A′DC是等腰直角三角形，∠C A′D=90º，
∴∠DC A′=45º，∴∠OC A′+∠OCD=45º，∴∠OCA+∠OCD=45º，
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數為45º。   ………………………………………10分解析:
（1）依題意設直線BC的解析式為y=kx+3，把B點坐標代入解析式求出直線BC的表達式．然后又已知拋物線y=x²+bx+c過點B，C，代入求出解析式．
（2）由y=x²-4x+3求出點D，A的坐標．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．過A點作AE⊥BC于點E，求出BE，CE的值．證明△AEC∽△AFP求出PF可得點P在拋物線的對稱軸，求出點P的坐標．
（3）本題要靠輔助線的幫助．作點A（1，0）關于y軸的對稱點A'，則A'（-1，0），求出A'C=AC，由勾股定理可得CD，A'D的值．得出△A'DC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度．