Question

在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F為BC的中點，連接DE、DF、EF，則結論：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當∠ABC=45°時，BE=DE中，一定正確的有    ．

Answer 1

【答案】分析：①EF、FD是直角三角形斜邊上的中線，都等于BC的一半；②可證△ABD∽△ACE；③證明∠EFD=60°；④假設結論成立，在BC上取滿足條件的點H，證明其存在性；⑤當∠ABC=45°時，EF不一定是BC邊的高．
解答：解：①∵BD、CE為高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．
∵F是BC的中點，∴EF=DF=BC．故正確；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正確；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中點，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等邊三角形．故正確；
④若BE+CD=BC，則可在BC上截取BH=BE，則HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在滿足條件的點，假設成立，但一般情況不一定成立，故錯誤；
⑤∵∠ABC=45°，∴BE=BC=DE．
正確的①②③⑤．
故答案為①②③⑤．
點評：本題綜合性較強，有一定的難度．主要考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定、銳角三角函數的定義．