Question

【題目】如圖，拋物線L：y=ax2+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，3），已知對稱軸x=1．

（1）求拋物線L的解析式；

（2）將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；

（3）設點P是拋物線L上任一點，點Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)2≤h≤4；(3)（1，4），（0，3），（，）和（，）．

【解析】試題分析：(1)、利用待定系數法求出拋物線的解析式即可；(2)、先求出直線BC解析式為y=﹣x+3，再求出拋物線頂點坐標，得出當x=1時，y=2；結合拋物線頂點坐即可得出結果；(3)、設P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2，BQ2=n2+36，過P點作PM垂直于y軸，交y軸與M點，過B點作BN垂直于MP的延長線于N點，由AAS證明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，則MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．

試題解析：(1)、∵拋物線的對稱軸x=1，B（3，0）， ∴A（﹣1，0） ∵拋物線y=ax2+bx+c過點C（0，3）

∴當x=0時，c=3． 又∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0）

∴， ∴∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；

(2)、∵C（0，3），B（3，0）， ∴直線BC解析式為y=﹣x+3， ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點坐標為（1，4） ∵對于直線BC：y=﹣x+1，當x=1時，y=2；將拋物線L向下平移h個單位長度，[源:∴當h=2時，拋物線頂點落在BC上； 當h=4時，拋物線頂點落在OB上，

∴將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），

則2≤h≤4；

(3)、設P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），

①當P點在x軸上方時，過P點作PM垂直于y軸，交y軸與M點，過B點作BN垂直于MP的延長線于N點，如圖所示： ∵B（3，0）， ∵△PBQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，BP=PQ， 則∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP， 在△PQM和△BPN中，，

∴△PQM≌△BPN（AAS）， ∴PM=BN， ∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根據B點坐標可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6， 解得：m=1或m=0， ∴P（1，4）或P（0，3）．

②當P點在x軸下方時，過P點作PM垂直于l于M點，過B點作BN垂直于MP的延長線與N點，

同理可得△PQM≌△BPN， ∴PM=BN， ∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BNm2﹣2m﹣3， 則3+m=m2﹣2m﹣3，

解得m=或． ∴P（，）或（，）．

綜上可得，符合條件的點P的坐標是（1，4），（0，3），（，）和（，）．