Question

如圖，拋物線₁ :y=-x²平移得到拋物線，且經過點O(0.0)和點A(4.0)，的頂點為點B，它的對稱軸與相交于點C,設、與BC圍成的陰影部分面積為S,解答下列問題：

（1）求表示的函數解析式及它的對稱軸，頂點的坐標。

（2）求點C的坐標，并直接寫出S的值。

（3）在直線AC上是否存在點P，使得S_△POA＝S？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由。

【參考公式：拋物線y=ax²+bx+c 的對稱軸是x＝－ ，

頂點坐標是（－ ，）】．

Answer 1

_解：（1）設l₂的函數解析式為y＝－x²＋bx＋c

_{把（4.0）代入函數解析式，得}

      解得

∴y＝－x²＋4x

∵y＝－x²＋4x＝－（x－2）²＋4

∴l₂的對稱軸是直線x＝2，頂點坐標B（2，4）

（2）當x＝2時，y＝－x²＝－4

∴C點坐標是（2，－4）

S＝8

（3）存在

_{設直線AC表示的函數解析式為}y＝kx＋n

把A（4，0），C（2，－4）代入得

  解得

∴y＝2x－8

設△POA的高為h

S_△POA＝OA·h=2h=4

_{設點P的坐標為（m,2m-8).}

∵S_△POA＝S 且S＝8

∴S_△POA＝×8=4

_{當點P在軸上方時，得× 4（2m-8)=4,}

_解得m=5,

_∴2m-8=2.

_{∴P的坐標為（5.2）.}

_{當點P在軸下方時，得× 4（8-2m)=4.}

_解得m=3,

_∴2m-8=-2

_{∴點P的坐標為（3，-2）.}

_{綜上所述，點P的坐標為（5，-2）或（3，-2）。}