Question

如圖，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中點，⊙O與AC，BC分別相切于點D與點E．點F是⊙O與AB的一個交點，連DF并延長交CB的延長線于點G．則CG=    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，則OD⊥AC、OD∥CB，易證得OD是△ABC的中位線，則OD=3；由此可求得OF、BF的長；根據OD∥CB，可證得△ODF、△BFG都是等腰三角形，所以BF=BG=3-3，再由CG=BC+BG即可求出CG的長．
解答：解：連接OD，則OD⊥AC；
∵∠C=90°，
∴OD∥CB；
∵O是AB的中點，
∴OD是△ABC的中位線，即OD=BC=3；
∵AC=BC=6，∠C=90°，
∴AB=6，則OB=3，
∵OD∥CG，
∴∠ODF=∠G；
∵OD=OF，則∠ODF=∠OFD，
∴∠BFG=∠OFD=∠G，
∴BF=BG=OB-OF=3-3，
∴CG=BC+BG=6+3-3=3+3．
點評：此題主要考查了切線的性質，三角形中位線定理及等腰三角形的性質等知識的綜合應用，能夠發現△BFG是等腰三角形是解答此題的關鍵．