Question

如圖，將邊長為的正六邊形A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆在直線上由圖1的位置按順時針
方向向右作無滑動滾動，當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑的
長為（   ）．

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六邊形的性質分別計算出A₁A₄=2a，A₁A₅=A₁A₃=a，而當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，以a，a，2a，a，a為半徑，圓心角都為60°的五條弧，然后根據弧長公式進行計算即可．
解：連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如圖，

∵六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆為正六邊形，
∴A₁A₄=2a，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=a，A₁C=a，
∴A₁A₅=A₁A₃=a，
當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，
以a，a，2a，a，a為半徑，圓心角都為60°的五條弧，
∴頂點A₁所經過的路徑的長=+++，
=
故選A．